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%~~  Apêndice A
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\chapter{Apêndice A}
\label{apd:exemplo}
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Exemplo de solução de um problema de diagnóstico pelo modelo de cobertura de conjuntos retirado de \citet{Reggia83}.

Seja $P = (\textbf{D}, \textbf{M}, \textbf{C}, M^{+})$ onde $D = \{d_{1}, d_{2}, ... , d_{9}\}$, $\textbf{M} = \{m_{1}, ..., m_{6}\}$, e $man(d_{i})$ e $causas(m_{j})$ estão especificados na Tabela~\ref{tab:doencasmanifestacoes}. Note que a parte superior (ou inferior) da Tabela~\ref{tab:doencasmanifestacoes} define implicitamente a relação \textbf{C}, porque $\textbf{C} = \{(d_{i}, m_{j}) \mid m_{j} \in man(d_{i})\, \forall\, d_{i}\}$. Seja $M^{+} = \{ m_{1} , m_{4} , m_{5} \}$. Perceba que não existe um único transtorno que possa cobrir todas as manifestações em $M^{+}$, mas alguns pares de transtornos podem fazer a cobertura completa. Podemos ver que, se $\textbf{D} = \{ d_{1}, d_{7}\}$ então $M^{+} \subseteq man(\textbf{D})$. Como não existem coberturas com menor cardinalidade que \textbf{D}, então segue que \textbf{D} é \textbf{explicação} de $M^{+}$.

\begin{table}[h!]
  \begin{center}
\begin{tabular}{c c}
\hline
\textbf{$d_{i}$} & \textbf{$man(d_{i})$} \\
\hline
$ d_{1} $ & $ m_{1} \: m_{4} $ \\
$ d_{2} $ & $ m_{1} \: m_{3} \: m_{4} $ \\
$ d_{3} $ & $ m_{1} \: m_{3} $ \\
$ d_{4} $ & $ m_{1} \: m_{6} $ \\
$ d_{5} $ & $ m_{2} \: m_{3}\: m_{4} $ \\
$ d_{6} $ & $ m_{2}\: m_{3} $ \\
$ d_{7} $ & $ m_{2}\: m_{5} $ \\
$ d_{8} $ & $ m_{4}\: m_{5}\: m_{6} $ \\
$ d_{9} $ & $ m_{2}\: m_{5} $ \\
\hline
\textbf{$ m_{j} $} & \textbf{$ causas(m_{j} $)} \\
\hline
$ m_{1} $ & $ d_{1}\: d_{2}\: d_{3}\: d_{4} $ \\
$ m_{2} $ & $ d_{5}\: d_{6}\: d_{7}\: d_{9} $ \\
$ m_{3} $ & $ d_{2}\: d_{3}\: d_{5}\: d_{6} $ \\
$ m_{4} $ & $ d_{1}\: d_{2}\: d_{5}\: d_{8} $ \\
$ m_{5} $ & $ d_{7}\: d_{8}\: d_{9} $ \\
$ m_{6} $ & $ d_{4}\: d_{8} $ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
  \caption{Doenças e manisfestações}
  \label{tab:doencasmanifestacoes}
\end{table}

Examinando cuidadosamente a Tabela~\ref{tab:doencasmanifestacoes} podemos concluir que o seguinte conjunto contém todas as explicações de $M^{+}$:

\[ Sol(P) = \{\{ d_{1}, d_{7}\}\: \{ d_{1}, d_{8}\}\: \{ d_{1}, d_{9}\}\: \{ d_{2}, d_{7}\}\: \{ d_{2}, d_{8}\}\: \{ d_{2}, d_{9}\}\: \{ d_{3}, d_{8}\}\: \{ d_{4}, d_{8}\}\} \]